Pisagor Üçlüleri

Hepimizin pisagor teoremini bildiğine eminim. Yazıdaki amacımız a²+b²=c², a.b.c≠0 ve a,b,c ∈ Z olacak şekilde (a,b,c) sıralı üçlülerini bulmak olacak. İlk sorularımız böyle sayılar var mı, varsa kaç tane var? Tabii ki biz (3,4,5) üçgenini bildiğimiz için herhangi bir k ∈ Z için (3k,4k,5k) üçgeninin de verilen bağıntıyı sağladığını biliyoruz. (Ayrıca okuyucu (3,4,5) üçgeninden başka ardışık pisagor üçlüsü olmadığını kanıtlamayı deneyebilir.) Demek ki biz sonsuz sayıda pisagor üçlüsü bulabiliriz. Peki acaba ebob(a,b,c)=1 olacak şekilde sonsuz sayıda pisagor üçlüsü var mıdır? Aralarında asal demişken sayfamızda asal sayılarla ilgili çok güzel yazılar var. Onlardan ilham alarak biz de a,b,c sayılarından birinin asal olduğunu varsayalım. p ∈ Z bir asal ve k,l ∈ Z olsun ve

p²+k²=l²

sağlansın. Bu durumda k’yı eşitliğin sağ tarafına atarsak

p²=l²-k² yani p²=(k+l)(k-l)

elde ederiz. Burada p bir asal olduğundan p² için çarpanlar 1, p, p² olabilir. k,l>0 olduğundan hem k+l hem de k-l aynı anda p’ ye eşit olamaz. Ayrıca k+l>k-l olduğundan

k+l=p² ve k-l=1

l +1 =k ve 2l+1=p²

olduğunu söyleyebiliriz. Demek ki üçlümüzün diğer girdileri ardışık olacak ve bu ardışık terimlerin toplamı p asalının karesini verecek. Üçlümüzü yazarsak {(p,l,l+1) :2l+1 =p²} elde ederiz. İstersek burada {(2l+1,l,l+1): p=2l+1 ,p bir asal} yazabiliriz ama çok şık durduğu söylenemez Çünkü ilk girdi tam sayı gibi durmuyor . Ayrıca hala elimizde tüm pisagor üçlüleri yok. Mesela 15 sayısı bir asal değil ve az önceki söylediğimiz kuralı sağlar ki bu yöntem ile (15,112,113) üçlüsünü bulamayız. (Tek sayılarda bu kuralın sağlandığının bariz olduğunu ama bu kuralı sağlayan tek bir üçlü olmadığını kanıtlayabilirsiniz. Örnek olarak 15 için (15,20,25) üçgenini de biliyoruz.)

Şimdi acaba tüm pisagor üçlülerini verecek olan bir yöntem bulabilir miyiz? Bunun için birazcık genel denklem ile oynayabiliriz.

a²+b²=c² ⇒ (a/c)²+(b/c)²=1

Burada x=a/c ve y=b/c yazarsak

x²+y²=1

denklemini elde ederiz ki okuyucu bunun bize bir çember denklemi verdiğini hemen anlayacaktır. En başta a,b,c ∈ Z aradığımız için x,y ∈ ℚ olacak şekilde x ve y bulmaya çalışacağız. Şimdi verilen çemberi çizelim.

Burada x,y rasyonel sayılar olduklarından çemberimiz normal bir çember olmayacak (gerçekte normal bir çembere benzese de aradaki boşlukları göstermek bize daha iyi bir bakış açısı sağlayacaktır.) İlk bakışta bu noktaların varlığını sorgulayabiliriz ancak ilk metodumuz ile sonsuz sayıda böyle nokta olduğunu biliyoruz. (Diğer noktaları da bulmaya çalışıyoruz) Şimdi burada (a,b)’nin de istediğimiz tipte bir nokta olduğunu varsayalım ve (-1,0) noktası ile (a,b) noktasından geçen doğrulara bakalım.

Varsayalım bu doğru (a,b) ile (-1,0) noktasından geçsin o halde lise bilgilerimizden hatırlayacağımız üzere eğim ve doğru denklemi

m=b/(a+1) , y=m(x+1)

olur. Elimizde x²+y²=1 ve y=m(x+1) denklemleri mevcut o halde yerine yazarak denklemi çözebiliriz

x²+(m(x+1))²=1

x²+m²(x²+2x+1)=1

(m²+1)x²+2m²x+(m²–1)=0

x=-1 ve x=(1-m²)/(1+m²)

görüleceği üzere ilk çözüm zaten (-1,0) noktasını verir. İkinci çözümü yerine koyarsak

y=m((1-m²)/(1+m²) +1)

y =2m/(1+m²)

Burada artık (x,y)=((1-m²)/(1+m²) , 2m/(1+m²)) olduğunu söyleyebiliriz ki gerçekten x,y rasyonel sayıları için eğim de rasyonel olduğundan bu eğime sahip ve (-1,0) noktasından geçen tüm doğrular çemberi başka bir rasyonel girdili noktada kesecektir. (Burada okuyucu son verdiğimiz bilgiyi ve bir doğrunun bir çemberi en fazla 2 noktada kesebileceğini kullanarak bu eşlemenin birebir ve örten olduğunu kanıtlayabilir.)

Şimdi bir birim çember üzerindeki tüm rasyonel girdili noktalar bulduğumuz (x,y) noktaları biçiminde olduğunu bulduğumuzu farkedelim. Burada m sayısının bir rasyonel olmasını kullanarak pisagor üçlülerini bulabiliriz artık. a,b ∈ Z için m= a/b seçersek

(x,y) =((b²-a²)/(a²+b²), 2ab/(a²+b²))

olduğu görülebilir.

x²+y²=1 olduğundan ((b²-a²)²+ (2ab)²=(a²+b²)² sağlanır. Demek ki aradığımız tamsayı üçlülerinin hepsi (b²-a² , 2ab , a²+b²) biçimindedir. Burada en başta aralarında asallık koşulunu eklediğimizi unutmazsak a ve b’nin aynı anda tek olmaması koşulunu ekleyebiliriz ancak aralarında asal olsun olmasın tüm pisagor üçlülerinin bu şekilde bulunacağını kanıtlamış bulunuyoruz. Bunu bir teorem olarak yazalım.

Teorem: x²+y²=z² eşitliğinin x.y.z≠0 koşulunu sağlayan tüm çözümleri
a,b,c ∈ Z olmak üzere

x=b²-a² , y=2ab , z=a²+b²

biçimindedir.

Bu kadar işten sonra okuyucunun da benzer sorularla ilgilenmesi beklenir. Örneğin

x²+9y²=z² için x.y.z ≠ 0

olacak şekilde (x,y,z) tamsayı çözümlerini bulmak isteyebilir. Burada az öncekinden farklı olarak bir elips üzerinde çalışılması gerektiği göze çarpacaktır.

Kaynaklar:

“Bassa A. , Özman E. , (2014) Keşiflere Açılan Kapı: Hatalar, Matematik Dünyası. , 1 (98):48–58.”